2019 年考研数学（二） 第 13 题

看到「对含变限积分的函数再积分」，几乎一定用分部积分：让变限积分当 $u$（求导正好去掉积分号，得 $\frac{\sin x^2}{x}$），$xdx$ 当 $dv$。边界项常自动为零（这里下限 $1$ 使 ${\int }_1^1=0$，$x=0$ 使 $\frac{x^2}{2}=0$），是这类题的常见福利。剩下的 $x\sin x^2$ 用 $d(x^2)$ 凑微分秒解。

本题考查变限积分与分部积分。 被积函数含变限积分 ${\int }_1^x\frac{\sin t^2}{t}dt$，其导数为 $\frac{\sin x^2}{x}$；用分部积分把这个「积分号」消掉。

令 $u={\int }_1^x\frac{\sin t^2}{t}dt,dv=xdx$，则 $du=\frac{\sin x^2}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}$：
$${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{x^2}{2}{\int }_1^x\frac{\sin t^2}{t}dt{|}_0^1-{\int }_0^1\frac{x^2}{2}\cdot \frac{\sin x^2}{x}dx.$$

边界项为零：$x=1$ 时 ${\int }_1^1\cdots =0$；$x=0$ 时 $\frac{x^2}{2}=0$。故
$${\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{1}{2}{\int }_0^{1}x\sin x^{2}dx=-\frac{1}{4}{\int }_0^1\sin x^{2}d(x^2)=\frac{1}{4}\cos x^2{|}_0^1=\frac{\cos 1-1}{4}.$$