2019 年考研数学（二） 第 14 题

求「代数余子式的线性组合」，先看这些系数能否拼成矩阵的某一行（列）——本题第一行恰是 $(1,-1,0,0)$，于是 $A_{11}-A_{12}$ 就是 $|A|$ 按第一行的展开式，一步把抽象组合变成一个具体行列式。这个「凑展开行」的技巧是代数余子式组合题的通用套路（若系数拼不成原行，可把对应行换成新系数造一个新行列式）。剩下老实用行变换算出 $|A|=-4$。

本题考查代数余子式的组合与行列式按行展开。 观察 $A$ 的第一行为 $(1,-1,0,0)$，恰有
$$|A|=1\cdot A_{11}+(-1)\cdot A_{12}+0\cdot A_{13}+0\cdot A_{14}=A_{11}-A_{12},$$
因此 $A_{11}-A_{12}=|A|$，只需算出行列式。

对第一列消元（$r_2+2r_1,r_3-3r_1$）：
$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& 1& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4\end{array}\right|.$$

按第一列展开得三阶行列式，再消元（$r_2+r_1$）：
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ 1& 2& -1\\ 0& 3& 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 3& 4\end{array}\right|=(-1)\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 4\end{array}\right|=-4.$$

故 $A_{11}-A_{12}=|A|=-4$。