2019 年考研数学（二） 第 15 题

分段函数求极值，先分段求导，再把「$f^{\prime }=0$ 的点」和「不可导点（尤其分段衔接处）」一并列为候选，逐段用符号表定增减——这是极值判定不漏不错的关键。遇到 $x^{2x}$ 这类幂指函数，一律先写成 $e^{2x\ln x}$ 再求导。本题 $x=0$ 是最易漏的点：它不可导却是极大值（左增右减），必须靠两侧 $f^{\prime }$ 的符号（而非 $f^{\prime }=0$）来判断。

本题考查分段函数（含幂指函数）的求导与极值。 分段点 $x=0$ 需单独讨论可导性。

当 $x>0$：$f(x)=x^{2x}=e^{2x\ln x}$，故
$$f^{\prime }(x)=e^{2x\ln x}\cdot (2\ln x+2)=x^{2x}(2\ln x+2).$$
当 $x<0$：$f(x)=x{e}^x+1$，$f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$。

分段点 $x=0$：$f(0)=1$。右导数
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^{2x}-1}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{e^{2x\ln x}-1}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x\ln x}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }2\ln x=-\infty ,$$
故 $f$ 在 $x=0$ 处不可导。于是
$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{2x}(2\ln x+2),& x>0,\\ (x+1)e^x,& x<0.\end{array}$$

求极值：$f^{\prime }(x)=0$ 或 $f^{\prime }$ 不存在的点为 $x=-1$（$x+1=0$）、$x=0$（不可导）、$x=\frac{1}{e}$（$2\ln x+2=0$）。由于 $x^{2x}>0,e^x>0$，$f^{\prime }$ 的符号仅由 $x+1$（$x<0$）与 $2\ln x+2$（$x>0$）决定：
- $x<-1$ 时 $f^{\prime }<0$，$-1<x<0$ 时 $f^{\prime }>0$：$x=-1$ 为极小值点，$f(-1)=-e^{-1}+1=1-\frac{1}{e}$；
- $0<x<\frac{1}{e}$ 时 $2\ln x+2<0$，$f^{\prime }<0$；$x>\frac{1}{e}$ 时 $f^{\prime }>0$：$x=\frac{1}{e}$ 为极小值点，$f\left(\frac{1}{e}\right)={\left(\frac{1}{e}\right)}^{2/e}$；
- $x=0$：左侧递增、右侧递减，故 $x=0$ 为极大值点，$f(0)=1$。

综上，极大值 $f(0)=1$；极小值 $f(-1)=1-\frac{1}{e}$ 及 $f\left(\frac{1}{e}\right)={\left(\frac{1}{e}\right)}^{2/e}$。