2019 年考研数学（二） 第 16 题

有理函数积分先看分母结构定部分分式形式：二重因子配 $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}$，不可约二次因子配 $\frac{Cx+D}{x^2+x+1}$。本题的「甜点」是分解后第三项分子恰等于二次分母的导数 $2x+1$，于是直接凑成 $\ln$，省去了通常要配方出 $\arctan$ 的步骤——这也是检验 $C,D$ 是否算对的一个信号。

本题考查有理函数积分（部分分式分解）。 分母含二重一次因子 $(x-1{)}^2$ 与不可约二次因子 $x^2+x+1$。

设
$$\frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}.$$
通分后比较 $A(x-1)(x^2+x+1)+B(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1{)}^2=3x+6$ 的系数，得
$$\{\begin{array}{l}A+C=0,\\ B-2C+D=0,\\ B+C-2D=3,\\ -A+B+D=6,\end{array}\Rightarrow A=-2,B=3,C=2,D=1.$$

于是
$$\int \frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}dx=\int \left[\frac{-2}{x-1}+\frac{3}{(x-1{)}^2}+\frac{2x+1}{x^2+x+1}\right]dx.$$

逐项积分：注意第三项分子 $2x+1$ 恰是分母 $x^2+x+1$ 的导数，故
$$=-2\ln |x-1|-\frac{3}{x-1}+\ln (x^2+x+1)+C.$$