2019 年考研数学（二） 第 17 题

第一问是一阶线性方程模板：算积分因子 $e^{\int Pdx}$、乘方程使左边变成 $(y\cdot \text{因子}{)}^{\prime }$、积分、代初值。这里右端的 $e^{x^2/2}$ 与因子 $e^{-x^2/2}$ 恰好相消成 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$，积分立得 $\sqrt{x}$，是设计好的巧合。第二问 $y^2=x{e}^{x^2}$ 又出现 $x{e}^{x^2}$，用 $d(x^2)$ 凑微分——两问的可积性都由 $e^{x^2}$ 结构串起来。

本题考查一阶线性微分方程与旋转体体积。

（Ⅰ） 方程 $y^{\prime }-xy=\frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{x^2/2}$ 为一阶线性方程，积分因子 $e^{-\int xdx}=e^{-x^2/2}$。两端乘以它：
$${\left(y{e}^{-x^2/2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{x^2/2}\cdot e^{-x^2/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
积分得 $y{e}^{-x^2/2}=\sqrt{x}+C$，即 $y=(\sqrt{x}+C)e^{x^2/2}$。由 $y(1)=\sqrt{e}$：$(1+C)e^{1/2}=e^{1/2}$，得 $C=0$。故 $y(x)=\sqrt{x}{e}^{x^2/2}$。

（Ⅱ） 区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转，用圆盘法：
$$V={\int }_1^2\pi y^{2}dx=\pi {\int }_1^{2}x{e}^{x^2}dx=\frac{\pi }{2}{\int }_1^2{e}^{x^2}d(x^2)=\frac{\pi }{2}{e}^{x^2}{|}_1^2=\frac{\pi }{2}\left(e^4-e\right).$$