2019 年考研数学（二） 第 8 题

实对称矩阵二次型的规范形，本质是数正负特征值的个数。矩阵满足多项式方程 $A^2+A=2E$ 时，特征值必是该方程数值版 ${\lambda }^2+\lambda -2=0$ 的根，一步锁定候选 $\{1,-2\}$。再用一个整体量（这里 $|A|=$ 特征值之积 $=4$）定各根重数：$(-2{)}^q=4$ 逼出 $q=2$。于是「一正两负」，规范形 $y_1^2-y_2^2-y_3^2$。

本题考查实对称矩阵的特征值与二次型的规范形。 规范形由正、负惯性指数决定，而它们分别等于 $A$ 的正、负特征值个数。

设 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$A\xi =\lambda \xi (\xi \ne 0)$。由 $A^2+A=2E$ 得 $(A^2+A-2E)\xi =0$，即 $({\lambda }^2+\lambda -2)\xi =0$，故 ${\lambda }^2+\lambda -2=0$，解得 $\lambda =1$ 或 $\lambda =-2$。

因此每个特征值只能取 $1$ 或 $-2$。设 $1$ 出现 $p$ 次、$-2$ 出现 $q$ 次，$p+q=3$，且 $|A|=1^p\cdot (-2{)}^q=(-2{)}^q=4$，故 $q=2,p=1$。

即特征值为 $1>0$（一个）与 $-2<0$（两个），正惯性指数为 $1$、负惯性指数为 $2$，规范形为 $y_1^2-y_2^2-y_3^2$。故选 C。