2019 年考研数学（二） 第 7 题

伴随矩阵求秩，条件反射就是那条「$n/1/0$」三分公式，先设法定出 $r(A)$。由基础解系个数 $=n-r(A)$，$2$ 个向量给出 $r(A)=2$。$4$ 阶矩阵里 $r(A)=2$ 意味着所有 $3$ 阶子式全为零，而 $A^{\ast }$ 的元素恰是这些 $3$ 阶代数余子式，于是 $A^{\ast }=O$，秩为 $0$。

本题考查伴随矩阵的秩。 核心结论：$n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的秩满足
$$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n,\\ 1,& r(A)=n-1,\\ 0,& r(A)<n-1.\end{array}$$

$Ax=0$ 的基础解系含 $2$ 个向量，即解空间维数为 $2$。由 $n-r(A)=2$（$n=4$）得 $r(A)=4-2=2$。

因 $r(A)=2<n-1=3$，属于第三种情形，故 $r(A^{\ast })=0$。故选 A。