2019 年考研数学（二） 第 6 题

充要判断题，先把几何语言（相切、曲率相等）翻成分析条件再对比强弱。这里 $\lim \frac{f-g}{(x-a{)}^2}=0$ 极强：它逼出 $f,g$ 在 $a$ 点「零、一、二阶导全相等」（洛必达或泰勒逐阶剥）。而「相切且曲率相等」只要求二阶导数绝对值相等——因为曲率公式 $\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$ 带绝对值。差别正在这个符号：$f^{\prime \prime }(a)=-g^{\prime \prime }(a)$ 时曲率照样相等，但极限非零。条件强于结论，故充分非必要。

本题考查极限、相切与曲率的分析刻画及充分必要性判断。 先把几何条件翻译成导数条件：两曲线在 $x=a$ 处相切即 $f(a)=g(a)$ 且 $f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)$；曲率 $\kappa =\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$，在切线相同（$f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)$）时，曲率相等 $\iff |f^{\prime \prime }(a)|=|g^{\prime \prime }(a)|$。

充分性（极限条件 $\Rightarrow$ 相切且曲率相等）： 设 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-g(x)}{(x-a{)}^2}=0$。分母 $\to 0$ 而极限存在，故分子 $\to 0$，得 $f(a)=g(a)$。由洛必达 $0=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}{2(x-a)}$，故 $f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)$。进而
$$0=\frac{1}{2}\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}{x-a}=\frac{1}{2}\underset{x\to a}{\lim }\left[\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(a)}{x-a}-\frac{g^{\prime }(x)-g^{\prime }(a)}{x-a}\right]=\frac{1}{2}[f^{\prime \prime }(a)-g^{\prime \prime }(a)],$$
得 $f^{\prime \prime }(a)=g^{\prime \prime }(a)$。于是相切且 $|f^{\prime \prime }(a)|=|g^{\prime \prime }(a)|$（曲率相等），充分性成立。

必要性不成立： 若仅知两曲线相切且曲率相等，只能得 $f(a)=g(a),f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a),|f^{\prime \prime }(a)|=|g^{\prime \prime }(a)|$。取 $f^{\prime \prime }(a)=-g^{\prime \prime }(a)\ne 0$ 的情形，曲率仍相等，但
$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-g(x)}{(x-a{)}^2}=\frac{1}{2}[f^{\prime \prime }(a)-g^{\prime \prime }(a)]=f^{\prime \prime }(a)\ne 0,$$
极限条件不成立。故必要性不成立。

综上，该极限条件是「相切且曲率相等」的充分非必要条件。故选 A。