2019 年考研数学（二） 第 5 题

同区域比较多个二重积分，绝不真去算积分，而是「比被积函数」——积分保序，函数大者积分大。关键第一步是框住 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 的范围：菱形域 $|x|+|y|\le \frac{\pi }{2}$ 配合 $\sqrt{x^2+y^2}\le |x|+|y|$ 给出 $r\le \frac{\pi }{2}$。有了 $r\in [0,\frac{\pi }{2}]$，两条常见不等式立刻见效：$\sin r\le r$ 分出 $I_2<I_1$；把 $1-\cos r$ 与 $\sin r$ 都用半角写成 $2\sin \frac{r}{2}(\cdots )$，再靠 $\frac{r}{2}\le \frac{\pi }{4}$ 时 $\sin \le \cos$ 分出 $I_3<I_2$。

本题考查二重积分的大小比较（利用被积函数的不等式）。 三个积分区域相同，只需比较被积函数在 $D$ 上的大小。记 $r=\sqrt{x^2+y^2}$。

先定出 $r$ 的范围：在 $D$ 上 $|x|+|y|\le \frac{\pi }{2}$，而 $r=\sqrt{x^2+y^2}\le |x|+|y|\le \frac{\pi }{2}$，故 $r\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$。

比较 $I_2$ 与 $I_1$： 当 $t\ge 0$ 时 $\sin t\le t$，故 $\sin r\le r$，从而被积函数满足 $\sin r\le r$，积分保序得 $I_2<I_1$。

比较 $I_3$ 与 $I_2$： 用半角公式 $1-\cos r=2{\sin }^2\frac{r}{2}$，$\sin r=2\sin \frac{r}{2}\cos \frac{r}{2}$。由 $r\le \frac{\pi }{2}$ 得 $\frac{r}{2}\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，此区间上 $\sin \frac{r}{2}\le \cos \frac{r}{2}$，于是
$$1-\cos r=2{\sin }^2\frac{r}{2}\le 2\sin \frac{r}{2}\cos \frac{r}{2}=\sin r,$$
故 $I_3<I_2$。

综合两步得 $I_3<I_2<I_1$。故选 A。