2019 年考研数学（二） 第 4 题

「由通解反推方程」是常系数线性 ODE 的逆向题：把通解拆成齐次部分与特解部分。齐次部分 $(C_1+C_{2}x)e^{-x}$ 的形状（多项式 $\times e^{\lambda x}$）直接暴露特征根——出现因子 $x$ 说明是二重根 $\lambda =-1$，于是特征多项式 $=(\lambda +1{)}^2$，比对系数得 $a=2,b=1$。剩下的 $c$ 靠把特解 $e^x$ 回代原方程算出来（$e^x$ 不是齐次解，直接代入即可）。

本题考查由通解反求常系数线性微分方程的系数。 通解 $=$ 齐次通解 $+$ 一个特解。

由齐次通解部分 $(C_1+C_{2}x)e^{-x}$ 知，对应齐次方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的特征方程 ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ 有二重根 ${\lambda }_1={\lambda }_2=-1$。于是
$${\lambda }^2+a\lambda +b=(\lambda +1{)}^2={\lambda }^2+2\lambda +1,\Rightarrow a=2,b=1.$$

由通解中的特解部分 $y^{\ast }=e^x$，代入 $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=c{e}^x$：$e^x+2e^x+e^x=4e^x=c{e}^x$，得 $c=4$。

故 $a=2,b=1,c=4$，依次为 $2,1,4$。故选 D。