2019 年考研数学（二） 第 3 题

判别无穷区间反常积分收敛性，最快是「算原函数、看端点极限」，其次是「比较被积函数在 $+\infty$ 处的衰减阶」：比 $\frac{1}{x}$ 快才收敛。含 $e^{-x}$、$e^{-x^2}$ 的（A、B）指数衰减，必收敛；C 里分子 $\arctan x$ 恰为分母 $1+x^2$ 倒数的原函数，凑微分立得 $\frac{{\pi }^2}{8}$ 收敛；唯有 D 的被积函数 $\frac{x}{1+x^2}\sim \frac{1}{x}$，原函数是对数、端点发散。识别信号就是「看谁在无穷远处只有 $\frac{1}{x}$ 量级」。

本题考查反常积分的敛散性判别。 逐项计算或估计即可。

A：${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx=\Gamma (2)=1$，收敛。（也可分部积分得 $[-(x+1)e^{-x}{]}_0^{+\infty }=1$。）

B：${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x^2}dx=-\frac{1}{2}{e}^{-x^2}{|}_0^{+\infty }=\frac{1}{2}$，收敛。

C：注意 $\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$，故
$${\int }_0^{+\infty }\frac{\arctan x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}(\arctan x{)}^2{|}_0^{+\infty }=\frac{1}{2}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2=\frac{{\pi }^2}{8},$$
收敛。

D：${\int }_0^{+\infty }\frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln (1+x^2){|}_0^{+\infty }=+\infty$，发散。（由 $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot \frac{x}{1+x^2}=1$、被积函数在无穷远处按 $\frac{1}{x}$ 阶衰减，也知发散。）故选 D。