2019 年考研数学（二） 第 2 题

拐点题的标准流程：$y^{\prime \prime }=0$ 找候选点，再看两侧 $y^{\prime \prime }$ 是否变号（这一步是判定拐点的关键，绝不能只解方程就下结论）。本题算出 $y^{\prime \prime }=-x\sin x$ 后有候选 $x=0,\pi$：$x=0$ 附近 $-x\sin x$ 两侧都为负、不变号，是典型的「伪拐点」陷阱；只有 $x=\pi$ 处 $\sin x$ 变号才带来凹凸改变。代回原函数时注意 $\sin \pi =0$，纵坐标只剩 $2\cos \pi =-2$。

本题考查拐点的求法。 拐点必满足 $y^{\prime \prime }=0$（或 $y^{\prime \prime }$ 不存在）且两侧 $y^{\prime \prime }$ 变号。

求导：
$$y^{\prime }=\sin x+x\cos x-2\sin x=x\cos x-\sin x,$$
$$y^{\prime \prime }=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x.$$

令 $y^{\prime \prime }=-x\sin x=0$，在 $\left(-\frac{\pi }{2},2\pi \right)$ 内得 $x=0$ 与 $x=\pi$。逐一判断变号情况：
- 当 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ 时 $x<0,\sin x<0$，$y^{\prime \prime }=-x\sin x<0$；当 $x\in (0,\pi )$ 时 $x>0,\sin x>0$，$y^{\prime \prime }<0$。故 $y^{\prime \prime }$ 在 $x=0$ 两侧同号（均为负），$(0,2)$ 不是拐点。
- 当 $x\in (\pi ,2\pi )$ 时 $x>0,\sin x<0$，$y^{\prime \prime }=-x\sin x>0$。故 $y^{\prime \prime }$ 在 $x=\pi$ 两侧由负变正，$x=\pi$ 是拐点。

代回原函数：$y(\pi )=\pi \sin \pi +2\cos \pi =0-2=-2$，拐点为 $(\pi ,-2)$。故选 B。