2019 年考研数学（二） 第 1 题

求「与 $x^k$ 同阶」本质是找无穷小的最低次幂。看到 $x-\tan x$ 这种「函数减去它的线性主部」的差，第一反应就是泰勒展开——$\tan x$ 的三次项系数 $\frac{1}{3}$ 是必背的，相减后一次项抵消、最低次自然落在 $x^3$。若一时忘了展开式，用洛必达连做两次、或把 $1-{\sec }^{2}x$ 化成 $-{\tan }^{2}x$，同样能定出阶数为 $3$。

本题考查无穷小的阶的比较。 「与 $x^k$ 同阶」即要求 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\tan x}{x^k}$ 为非零常数，只需找出 $x-\tan x$ 的最低次幂。

由泰勒展开 $\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$，得
$$x-\tan x=-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)(x\to 0),$$
故 $x-\tan x$ 的最低次幂为 $x^3$，与 $x^3$ 同阶，即 $k=3$。

也可用洛必达法则验证：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\tan x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-{\sec }^{2}x}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-{\tan }^{2}x}{3x^2}=-\frac{1}{3}\ne 0,$$
说明 $x-\tan x$ 是 $x$ 的 $3$ 阶无穷小。故选 C。