2019 年考研数学（二） 第 23 题

「$A$ 相似 $B$，求过渡矩阵 $P$」的通法是让两者各自对角化到同一个 $\Lambda$：$P_1^{-1}A{P}_1=\Lambda =P_2^{-1}B{P}_2$，消去 $\Lambda$ 即得 $P=P_1{P}_2^{-1}$。前提是先用「相似必迹等、行列式等（本质是特征值相同）」定出参数 $x,y$。关键细节：$P_1,P_2$ 的列必须按相同的特征值顺序排列，否则拼出的 $P$ 不满足 $P^{-1}AP=B$。最后用 $AP=PB$ 验一下最稳。

本题考查相似矩阵的性质与用对角化求过渡矩阵。

（Ⅰ） 相似矩阵迹相等、行列式相等。由 $\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}B$：$-2+x-2=2-1+y$，即 $x-4=y+1$，得 $y=x-5$。由 $|A|=|B|$：$|A|=-2\cdot \det \left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 2& x\end{array}\right)=-2(-2x+4)=4x-8$，$|B|=2\cdot (-1)\cdot y=-2y$，故 $4x-8=-2y$。联立 $y=x-5$ 解得 $x=3,y=-2$。

（Ⅱ） 此时 $A=\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& 1\\ 2& 3& -2\\ 0& 0& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$，二者特征值均为 $\lambda =-2,-1,2$。分别求特征向量，使 $A,B$ 都相似于对角阵 $\Lambda =\mathrm{diag}(-2,-1,2)$。

对 $A$ 解 $(\lambda E-A)\mathbf{x}=0$：
$$\lambda =-2:{\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right);\lambda =-1:{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right);\lambda =2:{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right).$$
令 $P_1=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，则 $P_1^{-1}A{P}_1=\Lambda$。

对 $B$ 同法求特征向量：
$$\lambda =-2:{\beta }_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right);\lambda =-1:{\beta }_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0\end{array}\right);\lambda =2:{\beta }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$
令 $P_2=({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$，则 $P_2^{-1}B{P}_2=\Lambda$。

由 $P_1^{-1}A{P}_1=P_2^{-1}B{P}_2$ 得 $(P_1{P}_2^{-1}{)}^{-1}A(P_1{P}_2^{-1})=B$，故
$$P=P_1{P}_2^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ 2& 1& 2\\ 0& 0& 4\end{array}\right).$$
（可验证 $AP=PB$，即 $P^{-1}AP=B$。）