2019 年考研数学（二） 第 22 题

向量组等价先算秩，且必须三秩相等（$r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})=r$ 合并组）——只判前两个相等是常见错误。$a=-1$ 正是「两组各自秩都为 $2$、但合起来秩为 $3$」的反例陷阱，必须舍。定出可等价的 $a$ 后，「用 $\alpha$ 表示 ${\beta }_3$」就是解线性方程组 $A\mathbf{x}={\beta }_3$：秩满（$a\ne \pm 1$）时唯一解，秩亏（$a=1$）时带自由参数 $k$ 的通解。分类讨论 $a$ 是含参向量题的主线。

本题考查向量组等价的判定（秩）与线性表示（解方程组）。 两向量组等价 $\iff r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})=r(\mathrm{I},\mathrm{II})$。

先看 $\mathrm{I}$ 的秩： 对 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 化简
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 2\\ 4& 4& a^2+3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& a^2-1\end{array}\right).$$
当 $a\ne \pm 1$ 时 $r(\mathrm{I})=3$；当 $a=\pm 1$ 时 $r(\mathrm{I})=2$。

当 $a=-1$： 此时 $r(\mathrm{I})=2$。把 $\mathrm{I},\mathrm{II}$ 合并作初等变换可得 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=2\ne r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=3$，故 $\mathrm{II}$ 不能由 $\mathrm{I}$ 线性表示，两组不等价，舍去 $a=-1$。

当 $a=1$： 可验证 $r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})=r(\mathrm{I},\mathrm{II})=2$，两组等价。解 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3={\beta }_3$：
$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\mid {\beta }_3)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 2& 3\\ 4& 4& 4& 4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 3\\ 0& 1& -1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$
通解 $\mathbf{x}=k\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 0\end{array}\right)$，故 ${\beta }_3=(-2k+3){\alpha }_1+(k-2){\alpha }_2+k{\alpha }_3$（$k$ 为任意常数）。

当 $a\ne \pm 1$： $r(\mathrm{I})=3$，可验证 $r(\mathrm{II})=r(\mathrm{I},\mathrm{II})=3$，两组等价。此时 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，${\beta }_3$ 的表示唯一。解 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3={\beta }_3$ 得 ${\beta }_3={\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3$。

结论： $a\ne -1$ 时两向量组等价；其中 $a=1$ 时 ${\beta }_3=(-2k+3){\alpha }_1+(k-2){\alpha }_2+k{\alpha }_3$（$k$ 任意），$a\ne \pm 1$ 时 ${\beta }_3={\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3$。