2019 年考研数学（二） 第 21 题

「先 $f^{\prime }$ 后 $f^{\prime \prime }$」的证明是中值定理的层层递进。第一问把 ${\int }_0^{1}f=1$ 翻译成「存在点函数值为 $1$」，靠 $F=\int f$ 后用拉格朗日（等价于积分中值），再与端点值 $f(1)=1$ 凑罗尔。第二问要证的 $f^{\prime \prime }<-2$ 提示构造 $\phi =f+x^2$（因 ${\phi }^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }+2$，把目标变成 ${\phi }^{\prime \prime }<0$）；两次拉格朗日造出 ${\phi }^{\prime }$ 的两个值、再夹一次得 ${\phi }^{\prime \prime }$ 的符号——「用两次一阶中值造一个二阶中值」是获取 $f^{\prime \prime }$ 信息的标准手法。

本题考查中值定理（积分转化、拉格朗日、罗尔）的综合证明。

（Ⅰ） 令 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$，则 $F^{\prime }(x)=f(x)$，$F(0)=0$，$F(1)={\int }_0^{1}f=1$。对 $F$ 在 $[0,1]$ 上用拉格朗日中值定理：存在 $c\in (0,1)$ 使 $F(1)-F(0)=F^{\prime }(c)(1-0)$，即 $f(c)=1$。于是 $f(c)=1=f(1)$，再对 $f$ 在 $[c,1]$ 上用罗尔定理，存在 $\xi \in (c,1)\subset (0,1)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$。

（Ⅱ） 令 $\phi (x)=f(x)+x^2$，则 $\phi (0)=0,\phi (c)=f(c)+c^2=1+c^2,\phi (1)=f(1)+1=2$。分别在 $[0,c]$ 与 $[c,1]$ 上用拉格朗日中值定理：存在 ${\eta }_1\in (0,c),{\eta }_2\in (c,1)$，使
$${\phi }^{\prime }({\eta }_1)=\frac{\phi (c)-\phi (0)}{c}=\frac{1+c^2}{c}=c+\frac{1}{c},{\phi }^{\prime }({\eta }_2)=\frac{\phi (1)-\phi (c)}{1-c}=\frac{2-(1+c^2)}{1-c}=1+c.$$

再对 ${\phi }^{\prime }$ 在 $[{\eta }_1,{\eta }_2]$ 上用拉格朗日中值定理：存在 $\eta \in ({\eta }_1,{\eta }_2)\subset (0,1)$，使
$${\phi }^{\prime \prime }(\eta )=\frac{{\phi }^{\prime }({\eta }_2)-{\phi }^{\prime }({\eta }_1)}{{\eta }_2-{\eta }_1}=\frac{(1+c)-\left(c+\frac{1}{c}\right)}{{\eta }_2-{\eta }_1}=\frac{1-\frac{1}{c}}{{\eta }_2-{\eta }_1}.$$
因 $0<c<1$，有 $1-\frac{1}{c}<0$，且 ${\eta }_2>{\eta }_1$，故 ${\phi }^{\prime \prime }(\eta )<0$。又 ${\phi }^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)+2$，即 $f^{\prime \prime }(\eta )+2<0$，从而 $f^{\prime \prime }(\eta )<-2$。