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2019 年考研数学（二）第 20 题

解答题 · 11 分

已知函数

u (x, y)

满足

2 \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} - 2 \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} + 3 \frac{\partial u}{\partial x} + 3 \frac{\partial u}{\partial y} = 0

，求

a, b

的值，使得在变换

u (x, y) = v (x, y) e^{a x + b y}

下，上述等式可化为

v (x, y)

不含一阶偏导数的等式。

提示 1

把

u = v e^{a x + b y}

的一阶、二阶偏导都算出来（乘积法则，指数因子求导带出

a, b

）。

提示 2

代入原方程、除以

e^{a x + b y}

后，整理出

v_{x}

的系数

4 a + 3

与

v_{y}

的系数

3 - 4 b

。

提示 3

令这两个系数为零，解得

a = - \frac{3}{4}, b = \frac{3}{4}

。

答案与详解

答案 $a = - \frac{3}{4}, b = \frac{3}{4}$

思路（为什么这么做）

「用指数因子代换消去一阶导数项」是化简偏微分方程的常见手法。机械地把

u = v E

（

E = e^{a x + b y}

）逐阶求导代入，

E

会整体约掉，留下关于

v

的同型方程，其中

v_{x}, v_{y}

的系数是

a, b

的线性式。想「不含一阶偏导」就令这两个系数为零——每个未知数各对应一个方程，

a, b

独立解出。二阶项系数

2, - 2

保持不变，正体现指数代换只改动一阶与零阶项。

解答

本题考查含指数因子的变量代换与多元求偏导，目标是凑消一阶偏导数项。 把

u = v e^{a x + b y}

的各阶偏导代入原方程，再令

v_{x}, v_{y}

的系数为零。

求偏导（记

E = e^{a x + b y}

）：

u_{x} = (v_{x} + a v) E, u_{xx} = (v_{xx} + 2 a v_{x} + a^{2} v) E,

u_{y} = (v_{y} + b v) E, u_{y y} = (v_{y y} + 2 b v_{y} + b^{2} v) E .

代入

2 u_{xx} - 2 u_{y y} + 3 u_{x} + 3 u_{y} = 0

，两端除以

E

并整理：

2 v_{xx} - 2 v_{y y} + (4 a + 3) v_{x} + (3 - 4 b) v_{y} + (2 a^{2} - 2 b^{2} + 3 a + 3 b) v = 0.

要使等式不含一阶偏导数，须令

v_{x}, v_{y}

的系数为零：

{4 a + 3 = 0, 3 - 4 b = 0, \Rightarrow a = - \frac{3}{4}, b = \frac{3}{4} .

考点：多元复合函数求导法则、偏导数

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