2019 年考研数学（二） 第 19 题

「振荡衰减曲线与 $x$ 轴围成的面积」是经典套路：按半周期 $[k\pi ,(k+1)\pi ]$ 分段，乘 $(-1{)}^k$ 把每段正负积分统一成正面积。$\int e^{-x}\sin x$ 是必背的分部积分结果。算出每段面积后得到公比 $e^{-\pi }$ 的等比数列，求和用等比公式、取极限时 $e^{-n\pi }\to 0$——虽然数二不考无穷级数，但这里只是有限等比求和加极限，完全在大纲内。

本题考查定积分（分部积分）、有限等比数列求和与极限。 曲线 $y=e^{-x}\sin x$ 在每个区间 $[k\pi ,(k+1)\pi ]$ 上符号交替，面积为各段积分绝对值之和。

面积的分段表示： 在 $[k\pi ,(k+1)\pi ]$ 上 $\sin x$ 的符号为 $(-1{)}^k$，故
$$S_n=\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^k{\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }{e}^{-x}\sin xdx.$$

求原函数： $\int e^{-x}\sin xdx=-\frac{1}{2}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)+C$。在 $[k\pi ,(k+1)\pi ]$ 上（$\sin (k\pi )=0,\cos (k\pi )=(-1{)}^k$）得
$${\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }{e}^{-x}\sin xdx=\frac{1}{2}(-1{)}^k\left[e^{-(k+1)\pi }+e^{-k\pi }\right].$$
乘 $(-1{)}^k$ 后每段贡献为正：$\frac{1}{2}\left[e^{-(k+1)\pi }+e^{-k\pi }\right]$。

求和： 这是公比 $e^{-\pi }$ 的等比数列求和：
$$S_n=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{n-1}\left[e^{-k\pi }+e^{-(k+1)\pi }\right]=\frac{1}{2}(1+e^{-\pi })\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{-k\pi }=\frac{(1+e^{-\pi })(1-e^{-n\pi })}{2(1-e^{-\pi })}.$$

取极限： 当 $n\to \infty$ 时 $e^{-n\pi }\to 0$，故
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1+e^{-\pi }}{2(1-e^{-\pi })}=\frac{e^{\pi }+1}{2(e^{\pi }-1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi }-1}.$$