2018 年考研数学（二） 第 9 题

「相邻两点的函数值之差」乘以一个增长量，是拉格朗日中值定理的典型信号——把 $\arctan (x+1)-\arctan x$ 换成 $\frac{1}{1+{\xi }^2}$，问题立刻变成 $\frac{x^2}{1+{\xi }^2}$。$\xi$ 虽不确定，但被牢牢夹在 $x$ 与 $x+1$ 之间，用夹逼把它替换成两个明确的边界，$x\to \infty$ 时 $\frac{x^2}{1+x^2}\to 1$，答案即为 $1$。

本题考查极限计算（拉格朗日中值定理＋夹逼准则）。 差 $\arctan (x+1)-\arctan x$ 用中值定理化为导数值。

记 $f(t)=\arctan t$，$f^{\prime }(t)=\frac{1}{1+t^2}$。当 $x>0$ 时 $f$ 在 $[x,x+1]$ 上满足拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x,x+1)$ 使
$$\arctan (x+1)-\arctan x=\frac{1}{1+{\xi }^2}[(x+1)-x]=\frac{1}{1+{\xi }^2}.$$
于是原式 $=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{1+{\xi }^2}$。

由 $x<\xi <x+1$ 得夹逼不等式
$$\frac{x^2}{1+(x+1{)}^2}<\frac{x^2}{1+{\xi }^2}<\frac{x^2}{1+x^2}.$$
两端当 $x\to +\infty$ 时都趋于 $1$，故 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\left[\arctan (x+1)-\arctan x\right]=1$。