2018 年考研数学（二） 第 10 题

「拐点处的切线」分两步走：先用 $y^{\prime \prime }=0$ 且变号找到拐点，再回到 $y^{\prime }$ 求斜率。求导时留意 $2\ln x$ 把定义域限制在 $x>0$，$y^{\prime \prime }=2-\frac{2}{x^2}=0$ 只取正根 $x=1$。拐点坐标 $(1,1)$ 干净利落，斜率 $y^{\prime }(1)=4$，点斜式一写即得 $y=4x-3$。

本题考查拐点的求法与切线方程。 先由 $y^{\prime \prime }=0$ 定拐点，再求该点切线。定义域 $x>0$。

求导：$y^{\prime }=2x+\frac{2}{x}$，$y^{\prime \prime }=2-\frac{2}{x^2}$（$x>0$）。令 $y^{\prime \prime }=2-\frac{2}{x^2}=0$，得 $x=1$。当 $0<x<1$ 时 $y^{\prime \prime }<0$，当 $x>1$ 时 $y^{\prime \prime }>0$，凹凸性改变，故 $x=1$ 是拐点横坐标。此时 $y(1)=1^2+2\ln 1=1$，拐点为 $(1,1)$。

切线斜率 $k=y^{\prime }(1)=\left(2x+\frac{2}{x}\right){|}_{x=1}=2+2=4$。切线方程：$y-1=4(x-1)$，即 $y=4x-3$。