2018 年考研数学（二） 第 11 题

分母是可因式分解的二次式，分子为常数——标准的部分分式裂项。裂成 $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}$ 后，两个对数合并成 $\ln \frac{x-3}{x-1}$，这样写的好处是上限 $x\to \infty$ 时比值趋于 $1$、对数干净地归零，只剩下限贡献 $-\ln \frac{1}{2}=\ln 2$。注意积分下限 $5$ 大于两个瑕点 $1,3$，区间内无奇性，收敛有保证。

本题考查反常积分与部分分式分解。 分母 $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$，先裂项再积分。

部分分式：$\frac{1}{(x-3)(x-1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}\right)$。于是
$${\int }_5^{+\infty }\frac{dx}{x^2-4x+3}=\frac{1}{2}{\int }_5^{+\infty }\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}\right)dx=\frac{1}{2}\ln \frac{x-3}{x-1}{|}_5^{+\infty }.$$

当 $x\to +\infty$ 时 $\frac{x-3}{x-1}\to 1$，故 $\ln \frac{x-3}{x-1}\to 0$；下限 $x=5$ 时 $\frac{x-3}{x-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。因此
$$\text{原式}=\frac{1}{2}\left[0-\ln \frac{1}{2}\right]=\frac{1}{2}\ln 2.$$
积分区间 $[5,+\infty )$ 内被积函数无瑕点，反常积分收敛。