2018 年考研数学（二） 第 12 题

参数曲线求曲率，套 $K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$，难点只在正确地算出对 $x$ 的一、二阶导。记住二阶导要「再除一次 $x_t^{\prime }$」：$y^{\prime \prime }=\frac{(y^{\prime }{)}_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$，漏掉这一步是常见错误。本题 $t=\frac{\pi }{4}$ 处 $\sin =\cos$，代数很对称，$y^{\prime }=-1$ 使分母 $(1+1{)}^{3/2}=2\sqrt{2}$，与分子的 $\sqrt{2}$ 相约，最终得到干净的 $\frac{2}{3}$。

本题考查参数方程的曲率。 曲率公式 $K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{{\left(1+y^{\prime 2}\right)}^{3/2}}$，其中 $y^{\prime },y^{\prime \prime }$ 为对 $x$ 的导数，用参数求导得到。

一阶导：$\frac{dx}{dt}=-3{\cos }^{2}t\sin t,\frac{dy}{dt}=3{\sin }^{2}t\cos t$，故
$$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{3{\sin }^{2}t\cos t}{-3{\cos }^{2}t\sin t}=-\tan t.$$

二阶导：$y^{\prime \prime }=\frac{d}{dx}(-\tan t)=\frac{(-\tan t{)}_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}=\frac{-{\sec }^{2}t}{-3{\cos }^{2}t\sin t}=\frac{1}{3{\cos }^{4}t\sin t}.$

代入 $t=\frac{\pi }{4}$（$\sin t=\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$）：$y^{\prime }=-1$，$y^{\prime \prime }=\frac{1}{3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。于是
$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{{\left(1+y^{\prime 2}\right)}^{3/2}}=\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{(1+1{)}^{3/2}}=\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{3}.$$