2018 年考研数学（二） 第 13 题

隐函数偏导的稳妥路子是对确定式整体求偏导、再解出。这里的小关卡是「求偏导前先要知道该点的 $z$ 值」：把 $x=2,y=\frac{1}{2}$ 代入方程右端得 $xy=1$，而左端 $\ln z+e^{z-1}$ 在 $z=1$ 恰为 $0+1=1$，于是 $z=1$。把 $y=\frac{1}{2},z=1$ 代进 $\frac{yz}{1+z{e}^{z-1}}$，指数 $e^0=1$ 让分母变成 $2$，答案 $\frac{1}{4}$。

本题考查由方程确定的多元隐函数求偏导。 对确定式两端关于 $x$ 求偏导（$z$ 视为 $x,y$ 的函数，$y$ 视为常量）。

两端对 $x$ 求偏导：
$$\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}+e^{z-1}\frac{\partial z}{\partial x}=y,\text{即}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{yz}{1+z{e}^{z-1}}.$$

先定点 $\left(2,\frac{1}{2}\right)$ 处的 $z$ 值：代入 $\ln z+e^{z-1}=xy=2\cdot \frac{1}{2}=1$。观察 $z=1$ 满足 $\ln 1+e^0=0+1=1$，故此点 $z=1$。

代入：$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{\left(2,\frac{1}{2}\right)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 1}{1+1\cdot e^0}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}.$