2018 年考研数学（二） 第 14 题

「$A$ 作用在一组基上的结果用这组基表示」正是相似的定义式：$AP=PB$，其中 $B$ 的第 $j$ 列就是 $A{\alpha }_j$ 的坐标。基线性无关保证 $P$ 可逆，于是 $A\sim B$，把抽象的 $A$ 换成看得见的 $B$ 去求特征值。特征多项式沿第一行展开分解出 $(\lambda -2)$ 和一个判别式为负的二次式，后者无实根，故实特征值唯一为 $2$。

本题考查用相似矩阵求特征值。 把三条关系写成矩阵形式，得到 $A$ 与一个具体矩阵 $B$ 相似，二者特征值相同。

由分块矩阵乘法，将 $A{\alpha }_i$ 用 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 表出：
$$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{array}\right).$$
记 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$。因 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，$P$ 可逆，故 $P^{-1}AP=B$，即 $A$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$ 相似。

求 $B$ 的特征值：
$$|\lambda E-B|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& 0& 0\\ -1& \lambda -1& 1\\ -1& -2& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda -2)[(\lambda -1{)}^2+2]=(\lambda -2)({\lambda }^2-2\lambda +3).$$
因子 ${\lambda }^2-2\lambda +3$ 的判别式 $4-12<0$ 无实根，故 $B$（从而 $A$）的实特征值只有 $\lambda =2$。