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2018 年考研数学（二）第 15 题

解答题 · 10 分

求不定积分

\int e^{2 x} arctan e^{x} - 1 d x

。

提示 1

被积函数含

arctan

，先分部积分把它求导掉；把

e^{2 x} d x

凑成

\frac{1}{2} d (e^{2 x})

。

提示 2

求

d (arctan e^{x} - 1)

时用

1 + (e^{x} - 1)^{2} = e^{x}

化简，得

\frac{d x}{2 e ^{x} - 1}

。

提示 3

余下

\int \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} - 1} d x

再分部或换元

w = e^{x} - 1

，最后提取

e^{x} - 1

合并。

答案与详解

答案 $\frac{1}{2} e^{2 x} arctan e^{x} - 1 - \frac{1}{6} (e^{x} + 2) e^{x} - 1 + C$

思路（为什么这么做）

凡是「幂/指数 × 反三角」的不定积分，第一步几乎总是分部积分，让

arctan

求导变成有理式。这里的关键化简是

1 + (e^{x} - 1)^{2} = e^{x}

，它让

arctan

的导数干净地变成

\frac{1}{2 e ^{x} - 1}

。余下的

\frac{e ^{2 x}}{e ^{x} - 1}

通过「再分部」或换元

w = e^{x} - 1

化为幂函数积分；最后把两项含

e^{x} - 1

的结果提公因子合并成

- \frac{1}{6} (e^{x} + 2) e^{x} - 1

，形式最简。可对结果求导验证。

解答

本题考查分部积分与换元积分。 含

arctan

的乘积型积分，先分部把

arctan

求导掉。注意

e^{2 x} d x = \frac{1}{2} d (e^{2 x})

。

分部积分（把

e^{2 x}

凑成微分）：

\int e^{2 x} arctan e^{x} - 1 d x = \frac{1}{2} \int arctan e^{x} - 1 d (e^{2 x}) = \frac{1}{2} e^{2 x} arctan e^{x} - 1 - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d (arctan e^{x} - 1) .

计算微分：由

1 + (e^{x} - 1)^{2} = e^{x}

，得

d (arctan e^{x} - 1) = \frac{1}{e ^{x}} \cdot \frac{e ^{x}}{2 e ^{x} - 1} d x = \frac{d x}{2 e ^{x} - 1} .

于是余下积分为

- \frac{1}{4} \int \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} - 1} d x = - \frac{1}{2} \int e^{x} d (e^{x} - 1)

。

再分部积分并换元

w = e^{x} - 1

：

- \frac{1}{2} \int e^{x} d (e^{x} - 1) = - \frac{1}{2} [e^{x} e^{x} - 1 - \int e^{x} - 1 d (e^{x})] = - \frac{1}{2} [e^{x} e^{x} - 1 - \frac{2}{3} (e^{x} - 1)^{3/2}] .

合并并提取公因子

e^{x} - 1

：

- \frac{1}{2} e^{x} e^{x} - 1 + \frac{1}{3} (e^{x} - 1)^{3/2} = - \frac{1}{6} (e^{x} + 2) e^{x} - 1 .

故

\int e^{2 x} arctan e^{x} - 1 d x = \frac{1}{2} e^{2 x} arctan e^{x} - 1 - \frac{1}{6} (e^{x} + 2) e^{x} - 1 + C .

考点：换元积分法与分部积分法、不定积分的概念与性质

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