2018 年考研数学（二） 第 16 题

积分方程求 $f$，核心动作是「求导降维」。但含 $f(x-t)$ 的卷积必须先换元 $u=x-t$，把 $x$ 从被积函数里「拽出来」成 $x{\int }_0^{x}f$，之后才能对 $x$ 求导。第一次求导得到含 ${\int }_0^{x}f$ 的关系并顺手读出初值 $f(0)=0$；第二次求导彻底消去积分，落到标准一阶线性方程 $f^{\prime }+f=2a$。（Ⅱ）中「平均值」在 $[0,1]$ 上就是 ${\int }_0^{1}fdx$ 本身，直接积分定 $a$。

本题考查变限积分求导与一阶线性微分方程。 先对卷积型积分换元，再两次求导化为微分方程。

（Ⅰ） 对第二个积分令 $u=x-t$（$t$ 从 $0$ 到 $x$，$u$ 从 $x$ 到 $0$）：
$${\int }_0^{x}tf(x-t)dt={\int }_0^x(x-u)f(u)du=x{\int }_0^{x}f(u)du-{\int }_0^{x}uf(u)du.$$
代回原式：
$${\int }_0^{x}f(t)dt+x{\int }_0^{x}f(u)du-{\int }_0^{x}uf(u)du=a{x}^2.$$

两端对 $x$ 求导（注意 $x{\int }_0^{x}fdu$ 用乘积法则）：
$$f(x)+\left[{\int }_0^{x}f(u)du+xf(x)\right]-xf(x)=2ax,$$
化简得 $f(x)+{\int }_0^{x}f(u)du=2ax$。令 $x=0$ 得 $f(0)=0$。再对 $x$ 求导得一阶线性方程
$$f^{\prime }(x)+f(x)=2a.$$

解此非齐次线性方程：
$$f(x)=e^{-\int dx}\left(C+\int 2a{e}^{\int dx}dx\right)=e^{-x}\left(C+2a{e}^x\right)=C{e}^{-x}+2a.$$
由 $f(0)=0$ 得 $C=-2a$，故 $f(x)=2a\left(1-e^{-x}\right)$。

（Ⅱ） $[0,1]$ 上平均值为 ${\int }_0^{1}f(x)dx=1$，即
$${\int }_0^{1}2a\left(1-e^{-x}\right)dx=2a{\left[x+e^{-x}\right]}_0^1=2a\left[(1+e^{-1})-1\right]=\frac{2a}{e}=1,$$
解得 $a=\frac{e}{2}$。