2018 年考研数学（二） 第 17 题

边界是参数曲线（摆线）时，二重积分「先 $y$ 后 $x$」积到只剩对 $x$ 的一元积分 $\int [xg(x)+g^2(x)]dx$，再整体换成参数 $t$——这样 $dx=(1-\cos t)dt$ 与被积式一起变形，避免了显式求 $g(x)$。计算时充分利用 $[0,2\pi ]$ 整周期的对称性：$\int \cos t=\int {\cos }^{3}t=0$、含 $\sin t$ 的奇性项也归零，真正要算的只有 $\int tdt$ 和 $\int t{\cos }^{2}tdt$。

本题考查二重积分（先 $y$ 后 $x$）与摆线边界的参数代换。 区域 $D$ 是摆线一拱与 $x$ 轴围成的曲边梯形，上边界 $y=g(x)$ 由参数方程给出。

当 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$，$x=t-\sin t$ 从 $0$ 增到 $2\pi$。取 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2\pi ,0\le y\le g(x)\}$，先对 $y$ 积分：
$${\iint }_D(x+2y)dxdy={\int }_0^{2\pi }dx{\int }_0^{g(x)}(x+2y)dy={\int }_0^{2\pi }[xg(x)+g^2(x)]dx.$$

作参数代换 $x=t-\sin t,g(x)=y=1-\cos t,dx=(1-\cos t)dt$：
$$={\int }_0^{2\pi }[(t-\sin t)(1-\cos t)+(1-\cos t{)}^2](1-\cos t)dt={\int }_0^{2\pi }(t-\sin t)(1-\cos t{)}^{2}dt+{\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^{3}dt.$$

第一部分：含 $\sin t$ 的项在 $[0,2\pi ]$ 上积分为 $0$，故 ${\int }_0^{2\pi }(t-\sin t)(1-\cos t{)}^{2}dt={\int }_0^{2\pi }(t-2t\cos t+t{\cos }^{2}t)dt$。逐项计算 ${\int }_0^{2\pi }tdt=2{\pi }^2$，${\int }_0^{2\pi }t\cos tdt=0$，${\int }_0^{2\pi }t{\cos }^{2}tdt={\pi }^2$，合计 $2{\pi }^2+{\pi }^2=3{\pi }^2$。

第二部分：$(1-\cos t{)}^3=1-3\cos t+3{\cos }^{2}t-{\cos }^{3}t$，在 $[0,2\pi ]$ 上 $\int 1=2\pi ,\int \cos t=0,\int {\cos }^{2}t=\pi ,\int {\cos }^{3}t=0$，故 ${\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^{3}dt=2\pi +3\pi =5\pi$。综上
$${\iint }_D(x+2y)dxdy=3{\pi }^2+5\pi .$$