2018 年考研数学（二） 第 8 题

分块矩阵求秩，最锋利的一招是「把拼接写成乘积」：$(A,AB)=A(E,B)$。一旦看出右因子 $(E,B)$ 含单位块、是行满秩，就知道它右乘不会改变 $A$ 的秩（既 $\le r(A)$ 又因含 $E$ 使 $\ge r(A)$）。B、C、D 都是「看起来对称、其实不成立」的陷阱，判断这类命题最快的是随手构造 $2\times 2$ 反例，一击即破。

本题考查分块矩阵的秩。 关键工具：若 $P$ 为行满秩（列数不超过其秩所允许）的矩阵，右乘不减秩；具体地 $r(AP)\le r(A)$，当 $P$ 含单位块时又有 $r(AP)\ge r(A)$。

分析 A：$(A,AB)=A(E,B)$，其中 $(E,B)$ 是 $n\times 2n$ 的行满秩矩阵（含单位块 $E$，行秩为 $n$）。行满秩矩阵不改变左乘因子的秩，故
$$r(A,AB)=r(A(E,B))=r(A).$$
所以 A 恒成立。

其余选项均可举反例否定：
- B：$(A,BA)$ 一般不等于 $r(A)$（例如 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$，则 $BA=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$，$r(A,BA)=2\ne 1=r(A)$）；
- C：$r(A,B)$ 可以大于 $\max \{r(A),r(B)\}$（如 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，$r(A,B)=2>1$）；
- D：$(A,B)$ 是把列拼起来，$(A^{\mathrm{T}},B^{\mathrm{T}})$ 是把 $A,B$ 的行当列拼起来，二者秩一般不等。

故应选 A。