2018 年考研数学（二） 第 7 题

判断相似，先看必要条件——特征值。这里四个候选与 $M$ 特征值全是三重 $1$，无法区分，必须上更细的判据。对同一重特征值，相似还要求「几何重数相同」，即 $r(\lambda E-A)$ 相同（等价地若尔当块结构相同）。$M$ 的 $r(E-M)=2$ 说明特征值 $1$ 只对应一个特征向量（单个三阶若尔当块）；逐个算选项的 $r(E-A)$，唯有 A 也等于 $2$，其余都是 $1$（可对角化或两块），故选 A。

本题考查相似矩阵的判定。 记 $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，四个选项都是上三角且对角线全为 $1$，故它们与 $M$ 的特征值都是 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=1$。特征值相同还不够，需比较 $r(E-A)$（它决定特征值 $1$ 对应特征向量的个数，从而决定若尔当结构）。

计算 $M$：$E-M=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(E-M)=2$，即 $\lambda =1$ 只有 $3-2=1$ 个线性无关特征向量（一个三阶若尔当块）。

逐一检验各选项的 $r(E-A)$：
- A：$E-A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r=2$；
- B：$E-B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r=1$；
- C：$E-C=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r=1$；
- D：$E-D=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r=1$。

只有 A 满足 $r(E-A)=r(E-M)=2$，故 $A$ 与 $M$ 相似（相同若尔当标准形）。应选 A。