2018 年考研数学（二） 第 6 题

看到两个累次积分被积函数相同、上限都是 $2-x^2$、下限分别是 $-x$ 与 $x$（合起来就是 $|x|$），就该想到它们其实是同一个二重积分被 $y$ 轴劈成的左右两半，先合并。合并后区域关于 $y$ 轴对称，被积函数拆成「偶（常数 $1$）＋奇（$-xy$）」，奇部分自动消失，剩下的 $\iint 1$ 就是求面积——一道计算量骤降的题。

本题考查二重积分（利用对称性简化）。 两个累次积分合并为同一区域上的二重积分，再用奇偶对称性去掉 $xy$ 项。

两块区域合并为 $D=\{(x,y)\mid |x|\le y\le 2-x^2\}$（其中 $x\in [-1,1]$，上边界为抛物线 $y=2-x^2$，下边界为 $y=|x|$）。该区域关于 $y$ 轴对称，而被积函数中的 $xy$ 关于 $x$ 是奇函数，故 ${\iint }_D(-xy)d\sigma =0$。于是
$$\text{原式}={\iint }_D(1-xy)dxdy={\iint }_{D}1dxdy=S(D).$$

由对称性 $S(D)=2{\int }_0^1[(2-x^2)-x]dx=2{\left[2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=2\left(2-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{7}{6}=\frac{7}{3}.$
应选 C。