2018 年考研数学（二） 第 5 题

三个积分区间相同，比大小的高效办法是把它们都对齐到同一把「尺子」——常数 $1$。$M$ 用奇偶性一算恰好等于 $\int 1dx=\pi$，这就把 $M$ 变成了基准线。再看 $K$ 的被积函数恒 $\ge 1$、$N$ 的被积函数 $(1+x)e^{-x}$ 在 $x=0$ 处最大值也只是 $1$（故 $\le 1$），于是 $K$ 在基准之上、$N$ 在基准之下，$M$ 居中，顺序立现。

本题考查定积分的性质（对称性与比较）。 先把 $M$ 算成一个简单值 $\pi$，再把 $N,K$ 的被积函数与常数 $1$ 比较。

计算 $M$：$\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}=\frac{1+2x+x^2}{1+x^2}=1+\frac{2x}{1+x^2}$。而 $\frac{2x}{1+x^2}$ 为奇函数，在对称区间上积分为 $0$，故
$$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(1+\frac{2x}{1+x^2}\right)dx={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1dx=\pi .$$

比较被积函数：在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上 $\cos x\ge 0$，故 $1+\sqrt{\cos x}\ge 1$（内部严格大于 $1$）。又令 $\phi (x)=\frac{1+x}{e^x}=(1+x)e^{-x}$，${\phi }^{\prime }(x)=-x{e}^{-x}$，在 $x=0$ 取最大值 $\phi (0)=1$，故 $\frac{1+x}{e^x}\le 1$（内部大部分严格小于 $1$）。于是
$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(1+\sqrt{\cos x}\right)dx>{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1dx>{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x}{e^x}dx,$$
即 $K>M>N$。应选 C。