2018 年考研数学（二） 第 4 题

结论只关心中点值 $f(\frac{1}{2})$，而条件是整个区间的积分——把「一点」和「一段」连起来的桥梁正是在该点展开的泰勒公式。选在 $x=\frac{1}{2}$ 展开是因为一次项 $(x-\frac{1}{2})$ 在对称区间 $[0,1]$ 上积分恰为零，自动消失；剩下 $f(\frac{1}{2})$ 与二阶余项积分的关系，而 $(x-\frac{1}{2}{)}^2\ge 0$，于是 $f^{\prime \prime }$ 的符号直接决定 $f(\frac{1}{2})$ 的符号。

本题考查带拉格朗日余项的泰勒公式与定积分。 在中点 $x=\frac{1}{2}$ 处展开 $f$，再在 $[0,1]$ 上积分，利用一次项积分为零把 $f(\frac{1}{2})$ 与 $f^{\prime \prime }$ 的符号联系起来。

在 $x=\frac{1}{2}$ 处对 $f(x)$ 作泰勒展开（$\xi$ 介于 $x$ 与 $\frac{1}{2}$ 之间）：
$$f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2.$$

两端在 $[0,1]$ 上积分。因 ${\int }_0^1\left(x-\frac{1}{2}\right)dx=0$，故
$$0={\int }_0^{1}f(x)dx=f\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}{\int }_0^1{f}^{\prime \prime }(\xi ){\left(x-\frac{1}{2}\right)}^{2}dx.$$

于是 $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}{\int }_0^1{f}^{\prime \prime }(\xi ){\left(x-\frac{1}{2}\right)}^{2}dx$。当 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 时被积式非负且不恒为零，积分为正，故 $f\left(\frac{1}{2}\right)<0$。应选 D。