2018 年考研数学（二） 第 3 题

分段函数之和求连续，先定位「所有分段点」——这里 $x=-1$ 和 $x=0$。在每个点判断谁在跳：$x=-1$ 处只有 $g$ 会断，把 $f$ 当常数，令 $g$ 左右极限相等即可定 $a$；$x=0$ 处 $f$ 从 $-1$ 跳到 $1$，必须靠 $g$ 的 $-b$ 补偿，令 $f+g$ 左右极限相等定 $b$。分点各管一个参数，互不干扰，故一步一个。

本题考查分段函数的连续性。 $f(x)+g(x)$ 的可能间断点为分段点 $x=-1$ 与 $x=0$，在两点分别要求左极限=右极限=函数值。

在 $x=-1$ 处：$f(x)$ 在 $x=-1$ 附近恒为 $-1$（连续），故只需 $g(x)$ 在 $x=-1$ 连续。
$$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }g(x)=g(-1)=2+a,\underset{x\to -1^{+}}{\lim }g(x)=-1.$$
由 $2+a=-1$ 得 $a=-3$。

在 $x=0$ 处：$f(x)$ 在此跳变，需与 $g(x)$ 配合使和连续。
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }[f(x)+g(x)]=f(0)+g(0)=1+(0-b)=1-b,$$
$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }[f(x)+g(x)]=-1+0=-1.$$
由 $1-b=-1$ 得 $b=2$。

故 $a=-3,b=2$，应选 D。