2018 年考研数学（二） 第 2 题

含绝对值的函数在 $x=0$ 是否可导，直接上导数定义并分左右极限。诀窍是先用等价无穷小把 $f(x)-f(0)$ 估个阶：若比 $|x|$ 高阶（如 $x^2$、$|x{|}^{3/2}$），差商必趋于 $0$，可导；只有当 $f(x)-f(0)$ 恰好是 $|x|$ 的同阶量时才可能出问题。$\cos \sqrt{|x|}-1\sim -\frac{|x|}{2}$ 正是 $|x|$ 的一阶，除以 $x$ 后带出 $\pm \frac{1}{2}$ 的符号差，左右导数打架，故不可导。

本题考查用导数定义判断可导性。 四个函数都含绝对值，$x=0$ 是可能的不可导点，逐一用 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 检验（注意左右极限）。

A：$f(x)=|x|\sin |x|\sim |x|\cdot |x|=x^2$，故 $\frac{f(x)-f(0)}{x}\to 0$，$f^{\prime }(0)=0$，可导。

B：$f(x)=|x|\sin \sqrt{|x|}\sim |x|\cdot \sqrt{|x|}=|x{|}^{3/2}$，故 $\frac{f(x)-f(0)}{x}\to 0$，$f^{\prime }(0)=0$，可导。

C：$f(x)=\cos |x|=\cos x$（$\cos$ 为偶函数），处处可导，$f^{\prime }(0)=0$。

D：$f(x)=\cos \sqrt{|x|}$，由 $\cos \sqrt{|x|}-1\sim -\frac{|x|}{2}$，得
$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\cos \sqrt{x}-1}{x}=-\frac{1}{2},f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\cos \sqrt{-x}-1}{x}=+\frac{1}{2}.$$
左右导数不相等，故 $f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 处不可导。应选 D。