2018 年考研数学（二） 第 1 题

看到「$(\cdots {)}^{1/x^2}\to 1$」，第一反应是 $1^{\infty }$ 型：取对数把幂化成乘积，再用 $\ln (1+u)\sim u$ 降为一个 $\frac{\text{分子}}{x^2}$ 型极限。定系数的关键是泰勒展开——把 $e^x$ 展开到 $x^2$ 后，分子出现 $(1+b)x$ 与 $(\frac{1}{2}+a)x^2$ 两项；要让除以 $x^2$ 后极限为有限值且为 $0$，必须先消掉低阶的一次项（否则分式趋于 $\infty$），故 $b=-1$，再令二次项系数为零得 $a=-\frac{1}{2}$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型极限与用泰勒公式定系数。 幂指函数极限先取对数化为普通极限。

由 $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(e^x+a{x}^2+bx\right)}^{\frac{1}{x^2}}=e^{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (e^x+a{x}^2+bx)}{x^2}}=1$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (e^x+a{x}^2+bx)}{x^2}=0$。因基底当 $x\to 0$ 时趋于 $1$，令 $u=e^x+a{x}^2+bx-1\to 0$，用 $\ln (1+u)\sim u$，问题化为
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x+a{x}^2+bx-1}{x^2}=0.$$

把 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ 代入分子：
$$e^x+a{x}^2+bx-1=(1+b)x+\left(\frac{1}{2}+a\right)x^2+o(x^2),$$
于是
$$\frac{e^x+a{x}^2+bx-1}{x^2}=\frac{(1+b)x+\left(\frac{1}{2}+a\right)x^2+o(x^2)}{x^2}.$$

要使该极限存在且等于 $0$，必须先让一次项系数为零（否则趋于 $\infty$），再让二次项系数为零：
$$\{\begin{array}{l}1+b=0,\\ \frac{1}{2}+a=0,\end{array}\Rightarrow a=-\frac{1}{2},b=-1.$$
故应选 B。