2018 年考研数学（二） 第 21 题

递推式含 $\frac{e^{x_n}-1}{x_n}$，这正是 $e^t$ 在 $[0,x_n]$ 上的「平均变化率」，拉格朗日中值定理把它变成 $e^{\xi }$，于是 $x_{n+1}=\xi$ 被夹在 $(0,x_n)$ 内——单调减且有下界一步到位，收敛由单调有界准则保证。求极限先在递推两端取极限得方程 $a{e}^a=e^a-1$，$a=0$ 一眼可见；再用「构造函数证单调、说明零点唯一」堵住其他可能解。求收敛数列极限时，验证极限方程解的唯一性是容易被忽略却必要的一步。

本题考查用单调有界准则证明数列收敛，并用拉格朗日中值定理估计相邻项。 由递推 $e^{x_{n+1}}=\frac{e^{x_n}-1}{x_n}$。

先证 $0<x_{n+1}<x_n$。 因 $x_1>0$，对 $e^t$ 在 $[0,x_1]$ 用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,x_1)$ 使 $\frac{e^{x_1}-1}{x_1}=\frac{e^{x_1}-e^0}{x_1-0}=e^{\xi }$。而 $e^{x_2}=\frac{e^{x_1}-1}{x_1}=e^{\xi }$，故 $x_2=\xi \in (0,x_1)$，即 $0<x_2<x_1$。

归纳。 设 $0<x_{n+1}<x_n$，则由 $e^{x_{n+2}}=\frac{e^{x_{n+1}}-1}{x_{n+1}}=e^{\eta }$（$\eta \in (0,x_{n+1})$，中值定理），得 $0<x_{n+2}=\eta <x_{n+1}$。故 $\{x_n\}$ 单调减少且有下界 $0$，由单调有界准则知 $\{x_n\}$ 收敛。

求极限。 设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$（$a\ge 0$），在 $x_n{e}^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1$ 两端取极限得 $a{e}^a=e^a-1$，显然 $a=0$ 为其解。

唯一性。 令 $f(x)=x{e}^x-e^x+1$，则 $f^{\prime }(x)=x{e}^x$。当 $x>0$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调增加，而 $f(0)=0$，故 $a{e}^a=e^a-1$ 在 $[0,+\infty )$ 上仅有解 $a=0$。因此 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$。