2018 年考研数学（二） 第 20 题

相关变化率题的骨架是「先建静态关系 $S=S(m)$，再对 $t$ 求导引入速度 $\frac{dm}{dt}$」。这里静态部分是一道定积分求面积：图形夹在直线 $AP$（上）与抛物线 $L$（下）之间，$x$ 从 $0$ 到 $m$；含参 $m$ 的被积函数积出后神奇地化简为简洁的 $\frac{2}{27}{m}^3+\frac{1}{2}m$。链式法则一求导，把「沿 $x$ 轴正向速度 $=4$」理解为 $\frac{dm}{dt}=4$ 代入即可。

本题考查定积分求面积与相关变化率。 先把面积 $S$ 表为动点横坐标 $m$ 的函数，再用链式法则求 $\frac{dS}{dt}$。

设 $P$ 的坐标为 $(m,n)$，则 $n=\frac{4}{9}{m}^2$。直线 $AP$ 过 $A(0,1)$ 与 $P(m,n)$，斜率 $\frac{n-1}{m}=\frac{4}{9}m-\frac{1}{m}$，方程为
$$y=\left(\frac{4}{9}m-\frac{1}{m}\right)x+1.$$

该图形由 $y$ 轴上的线段 $OA$、直线 $AP$ 与抛物线 $L$ 围成，位于 $0\le x\le m$，上边界为直线 $AP$、下边界为抛物线 $L$：
$$S={\int }_0^m\left[\left(\frac{4}{9}m-\frac{1}{m}\right)x+1-\frac{4}{9}{x}^2\right]dx=\left(\frac{4}{9}m-\frac{1}{m}\right)\frac{m^2}{2}+m-\frac{4}{27}{m}^3=\frac{2}{27}{m}^3+\frac{1}{2}m.$$

对 $t$ 求导（$m$ 是 $t$ 的函数）：
$$\frac{dS}{dt}=\left(\frac{2}{9}{m}^2+\frac{1}{2}\right)\frac{dm}{dt}.$$

当 $P$ 到达 $(3,4)$ 时 $m=3$，沿 $x$ 轴正向速度 $\frac{dm}{dt}=4$，故
$$\frac{dS}{dt}=\left(\frac{2}{9}\cdot 9+\frac{1}{2}\right)\cdot 4=\left(2+\frac{1}{2}\right)\cdot 4=10.$$