2018 年考研数学（二） 第 19 题

「一根线分几段各围一种图形、求面积和的极值」是条件极值的经典模型。先把每种正多边形/圆的面积写成其周长（即那段长）的平方乘一个常数系数，目标函数就成了三个平方项之和——一个正定二次型，约束是线性的 $x+y+z=2$。拉格朗日方程给出 $x,y,z$ 都正比于 $-\lambda$，代回约束一步定 $\lambda$。正定二次型在紧集上必达最小，唯一驻点即答案；求值时用 $\frac{x_0^2}{4\pi }=\pi {\lambda }^2$ 之类的整理可迅速凑出 ${\lambda }^2(\pi +4+3\sqrt{3})$。

本题考查条件极值（拉格朗日乘数法）。 设三段长为约束，面积和为目标函数。

设三段长分别为 $x,y,z$，则约束 $x+y+z=2$（$x,y,z\ge 0$）。周长为 $x$ 的圆半径 $\frac{x}{2\pi }$，面积 $\pi {\left(\frac{x}{2\pi }\right)}^2=\frac{x^2}{4\pi }$；周长 $y$ 的正方形边长 $\frac{y}{4}$，面积 $\frac{y^2}{16}$；周长 $z$ 的正三角形边长 $\frac{z}{3}$，面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{z}{3}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{36}{z}^2$。故
$$f(x,y,z)=\frac{x^2}{4\pi }+\frac{y^2}{16}+\frac{\sqrt{3}}{36}{z}^2.$$

构造拉格朗日函数 $L=\frac{x^2}{4\pi }+\frac{y^2}{16}+\frac{\sqrt{3}}{36}{z}^2+\lambda (x+y+z-2)$，令偏导为零：
$$\frac{x}{2\pi }+\lambda =0,\frac{y}{8}+\lambda =0,\frac{\sqrt{3}}{18}z+\lambda =0,x+y+z=2.$$
解得 $x=-2\pi \lambda ,y=-8\lambda ,z=-6\sqrt{3}\lambda$，代入约束得 $-\lambda (2\pi +8+6\sqrt{3})=2$，即 $\lambda =-\frac{1}{\pi +4+3\sqrt{3}}$。

于是唯一驻点
$$x_0=\frac{2\pi }{\pi +4+3\sqrt{3}},y_0=\frac{8}{\pi +4+3\sqrt{3}},z_0=\frac{6\sqrt{3}}{\pi +4+3\sqrt{3}}.$$

目标函数是正定二次型，在有界闭区域（$x+y+z=2,x,y,z\ge 0$）上连续，必有最小值；内部唯一驻点即为最小值点。利用 $\frac{x_0^2}{4\pi }=\pi {\lambda }^2,\frac{y_0^2}{16}=4{\lambda }^2,\frac{\sqrt{3}}{36}{z}_0^2=3\sqrt{3}{\lambda }^2$，得
$$f(x_0,y_0,z_0)={\lambda }^2\left(\pi +4+3\sqrt{3}\right)=\frac{1}{\pi +4+3\sqrt{3}}.$$
（与边界情形——某段为 $0$ 时的面积和相比更小。）故三图形面积之和存在最小值 $\frac{1}{\pi +4+3\sqrt{3}}$。