2018 年考研数学（二） 第 22 题

二次型写成「平方和」的形式是巨大的提示：$f=0$ 立刻等价于每个括号为零的齐次方程组，(Ⅰ) 就变成讨论方程组解的存在性，参数 $a$ 的分界点由行变换出现的 $a-2$ 给出。(Ⅱ) 求规范形只需数「独立的正平方项个数」：当三个线性型线性无关（变换矩阵行列式 $a-2\ne 0$）时，$f$ 已是三个独立平方，规范形 $y_1^2+y_2^2+y_3^2$；当 $a=2$ 出现线性相关，配方后塌缩成两个平方，规范形降为 $y_1^2+y_2^2$。两问的分水岭都是同一个 $a=2$。

本题考查二次型的规范形与齐次线性方程组。 $f$ 是三个实的平方之和，$f=0$ 当且仅当三个线性表达式同时为零。

（Ⅰ） $f=0$ 的充分必要条件是齐次线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+x_3=0,\\ x_2+x_3=0,\\ x_1+a{x}_3=0.\end{array}$$
对系数矩阵作初等行变换：
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& a\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& a-1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& a-2\end{array}\right).$$

当 $a\ne 2$ 时，$r(A)=3$，方程组只有零解 $X=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}=(0,0,0{)}^{\mathrm{T}}$。
当 $a=2$ 时，$A\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(A)=2$，有非零解 $X=k(-2,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$，$k$ 为任意常数。

（Ⅱ）当 $a\ne 2$ 时，令 $\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$。因该矩阵行列式 $=a-2\ne 0$ 可逆，是可逆线性变换，故 $f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$ 即为规范形（正定，正惯性指数 $3$）。

当 $a=2$ 时，展开并配方：
$$f=(x_1-x_2+x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2+(x_1+2x_3{)}^2=2x_1^2+2x_2^2+6x_3^2-2x_1{x}_2+6x_1{x}_3$$
$$=2{\left(x_1-\frac{1}{2}{x}_2+\frac{3}{2}{x}_3\right)}^2+\frac{3}{2}{x}_2^2+\frac{3}{2}{x}_3^2+3x_2{x}_3=2{\left(x_1-\frac{1}{2}{x}_2+\frac{3}{2}{x}_3\right)}^2+\frac{3}{2}(x_2+x_3{)}^2.$$
只含两个正平方项，故规范形为 $f=y_1^2+y_2^2$（正惯性指数 $2$，秩 $2$）。