2018 年考研数学（二） 第 23 题

（Ⅰ）抓住「初等变换保秩」这条主线：$A$ 变到 $B$ 说明二者同秩，$A$ 的秩好算（$\det A=0$ 但两列独立故为 $2$），于是逼着 $B$ 的秩也为 $2$，行变换后那个含 $a$ 的主元必须为零，$a$ 应声而定。（Ⅱ）矩阵方程 $AP=B$ 的本质是「$P$ 的每一列都是以 $B$ 对应列为右端的方程组的解」，所以把 $A$ 和整个 $B$ 并成 $(A\mid B)$ 一次行化简，三列同时解出。因 $r(A)=2<3$ 每列都带一个自由参数；最后别忘了题目要「可逆」的 $P$，用 $\det P\ne 0$ 补上参数约束 $k_2\ne k_3$。

本题考查初等变换不改变秩、以及矩阵方程 $AP=B$ 的求解。 $A$ 经初等列变换得 $B$，故 $r(A)=r(B)$。

（Ⅰ） 直接看出 $r(A)=2$（$\det A=0$，而前两列线性无关）。因初等变换不改变秩，$r(B)=2$。对 $B$ 行变换：
$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 0& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 1+a& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2-a\end{array}\right).$$
要 $r(B)=2$，须右下角 $2-a=0$，故 $a=2$。

（Ⅱ） 此时 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 1& 3& 0\\ 2& 7& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 0& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$。设 $P=(X_1,X_2,X_3)$，则 $AP=B$ 等价于 $A{X}_i={\beta }_i$（${\beta }_i$ 为 $B$ 的第 $i$ 列）。对增广矩阵 $(A\mid B)$ 作行变换：
$$(A\mid B)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 2& 1& 2& 2\\ 1& 3& 0& 0& 1& 1\\ 2& 7& -2& -1& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 6& 3& 4& 4\\ 0& 1& -2& -1& -1& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

由此（$x_3$ 为自由变量，记参数 $k_i$）得各列通解：
$$X_1=k_1\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0\end{array}\right),X_2=k_2\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\end{array}\right),X_3=k_3\left(\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\end{array}\right).$$

故 $P=\left(\begin{array}{ccc}-6k_1+3& -6k_2+4& -6k_3+4\\ 2k_1-1& 2k_2-1& 2k_3-1\\ k_1& k_2& k_3\end{array}\right)$。要 $P$ 可逆，计算 $\det P=k_3-k_2$，故须 $k_2\ne k_3$（$k_1,k_2,k_3$ 为任意常数）。