2016 年考研数学（二） 第 9 题

求斜渐近线就是两步取极限：斜率 $k$ 与截距 $b$。这里的关键化简是 $\frac{x^3}{1+x^2}-x$——不要被三次分式吓到，通分后分子降为 $-x$，整体趋于 $0$，说明有理式部分的斜渐近线就是 $y=x$。真正贡献截距的是 $\arctan (1+x^2)$，当 $x\to \infty$ 时其宗量 $\to +\infty$，$\arctan \to \frac{\pi }{2}$。于是渐近线抬高 $\frac{\pi }{2}$，得 $y=x+\frac{\pi }{2}$。注意正负无穷两侧给出同一条线。

本题考查斜渐近线的求法。 斜渐近线 $y=kx+b$ 中 $k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}$，$b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-kx)$。

求斜率 $k$：
$$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\left[\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{\arctan (1+x^2)}{x}\right]=1+0=1.$$

求截距 $b$：
$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left[\frac{x^3}{1+x^2}-x+\arctan (1+x^2)\right].$$
其中 $\frac{x^3}{1+x^2}-x=\frac{x^3-x(1+x^2)}{1+x^2}=\frac{-x}{1+x^2}\to 0$，而 $\arctan (1+x^2)\to \frac{\pi }{2}$，故 $b=\frac{\pi }{2}$。

所以斜渐近线方程为 $y=x+\frac{\pi }{2}$。（当 $x\to +\infty$ 与 $x\to -\infty$ 结果一致，为同一条渐近线。）