2016 年考研数学（二） 第 10 题

看到 $\frac{1}{n}\sum$ 型或能凑成它的和式极限，第一反应是「定积分定义」。这里外层是 $\frac{1}{n^2}$，把它劈成 $\frac{1}{n}$（作为 $\Delta x$）乘 $\frac{i}{n}$（作为 $x_i$），通项 $\frac{i}{n}\sin \frac{i}{n}$ 正是 $f(x)=x\sin x$ 在 $x=\frac{i}{n}$ 的值，于是极限就是 ${\int }_0^{1}x\sin xdx$。剩下就是标准分部积分。识别 $x_i=\frac{i}{n}$ 落在 $[0,1]$、步长 $\frac{1}{n}$ 是这类题的通用套路。

本题考查用定积分定义求 $n$ 项和的极限。 把和式凑成 $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{i}{n}\right)$ 的形式，即为 ${\int }_0^{1}f(x)dx$。

将 $\frac{1}{n^2}$ 拆为 $\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}$：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}i\sin \frac{i}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{i}{n}\sin \frac{i}{n}={\int }_0^{1}x\sin xdx.$$

用分部积分：
$${\int }_0^{1}x\sin xdx=-{\int }_0^{1}xd(\cos x)=-x\cos x{|}_0^1+{\int }_0^1\cos xdx=-\cos 1+\sin x{|}_0^1=\sin 1-\cos 1.$$

故所求极限为 $\sin 1-\cos 1$。