2016 年考研数学（二） 第 11 题

已知特解反求方程，最快的思路是利用一阶线性方程解的结构：两个非齐次特解之差必是齐次解。这里 $y_2-y_1=e^x$ 满足 $y^{\prime }+py=0$，代入立即得 $p=-1$（因 $e^x$ 的对数导数为 $1$）。有了 $p$，再拿任意一个特解代进 $y^{\prime }+py=q$ 求出 $q$。相比直接把两个特解都代入解方程组，这个方法省去联立、更不易出错。

本题考查一阶线性微分方程解的结构（逆向构造方程）。 设所求方程为 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$，把两个特解代入定出 $p,q$。

方法一（代入）： 将 $y_1=x^2-e^x$、$y_2=x^2$ 分别代入 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$：
$$\{\begin{array}{l}(2x-e^x)+(x^2-e^x)p(x)=q(x),\\ 2x+x^{2}p(x)=q(x).\end{array}$$
两式相减得 $-e^x-e^{x}p(x)=0$，即 $-e^x(1+p(x))=0$，故 $p(x)=-1$；代回得 $q(x)=2x-x^2$。

方法二（用解的结构）： 两个非齐次特解之差 $y_2-y_1=e^x$ 是对应齐次方程 $y^{\prime }+p(x)y=0$ 的解，代入得 $e^x+p(x)e^x=0$，故 $p(x)=-1$。再把 $y_2=x^2$ 代入 $y^{\prime }-y=q(x)$ 得 $q(x)=2x-x^2$。

故所求的一阶非齐次线性微分方程为 $y^{\prime }-y=2x-x^2$。