2016 年考研数学（二） 第 12 题

见到「$f(x)=\cdots +{\int }_0^{x}f$」的积分方程，标准第一步是两边求导化成微分关系 $f^{\prime }=2(x+1)+2f$，同时用 $x=0$ 从原式读出初值 $f(0)=1$。此后有两条路：一是继续逐阶求导，注意 $n\ge 2$ 后二次项 $(x+1{)}^2$ 的导数消失，递推退化为 $f^{(n)}=2f^{(n-1)}$ 的等比结构，公比 $2$、首项 $f^{\prime \prime }(0)=10$，得 $5\cdot 2^{n-1}$；二是把它当一阶线性 ODE 解出 $f(x)=\frac{5}{2}{e}^{2x}-x-\frac{3}{2}$，高阶导数只剩指数项。两法互为验证。

本题考查变限积分求导与高阶导数的递推。 对含变限积分的等式求导可把积分方程转化为微分关系，再逐阶求导找规律。

方法一（递推）： 对 $f(x)=(x+1{)}^2+2{\int }_0^{x}f(t)dt$ 求导得 $f^{\prime }(x)=2(x+1)+2f(x)$。由原式 $f(0)=(0+1{)}^2+0=1$，故 $f^{\prime }(0)=2\cdot 1+2\cdot 1=4$。

再逐阶求导：$f^{\prime \prime }(x)=2+2f^{\prime }(x)$，得 $f^{\prime \prime }(0)=2+2\cdot 4=10=5\cdot 2$；$f^{\prime \prime \prime }(x)=2f^{\prime \prime }(x)$，得 $f^{\prime \prime \prime }(0)=2\cdot 10=20=5\cdot 2^2$。当 $n\ge 2$ 时 $f^{(n)}(x)=2f^{(n-1)}(x)$，故 $f^{(n)}(0)=5\cdot 2^{n-1}$。

方法二（解出 $f$）： 由 $f^{\prime }(x)-2f(x)=2(x+1)$（一阶线性），解得 $f(x)=C{e}^{2x}-x-\frac{3}{2}$。由 $f(0)=1$ 得 $C=\frac{5}{2}$，即 $f(x)=\frac{5}{2}{e}^{2x}-x-\frac{3}{2}$。当 $n\ge 2$ 时多项式部分导数为 $0$，$f^{(n)}(x)=\frac{5}{2}\cdot 2^n{e}^{2x}=5\cdot 2^{n-1}{e}^{2x}$，故 $f^{(n)}(0)=5\cdot 2^{n-1}$。