2016 年考研数学（二） 第 13 题

相关变化率问题的通法：把要求变化率的量（这里 $l$）先用一个自变量（这里 $x$）表达清楚，再对时间用链式法则，中间的桥梁是已知的 $\frac{dx}{dt}=v_0$。曲线约束 $y=x^3$ 让 $l=\sqrt{x^2+x^6}$ 只含 $x$，求导后在指定点 $x=1$ 代值即可。不必先解出 $x(t)$ 的具体表达式——只要该点的 $x$ 值和 $\frac{dx}{dt}$ 即可，这正是相关变化率「就地代值」的便利。

本题考查相关变化率（用复合函数求导联系两个量对时间的变化率）。 先把 $l$ 表示为 $x$ 的函数，再用链式法则对时间求导。

设 $t$ 时刻 $P$ 的坐标为 $(x(t),y(t))$，因在 $y=x^3$ 上，$y=x^3$，故
$$l=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}=\sqrt{x^2(t)+x^6(t)}.$$
由题意 $\frac{dx}{dt}=v_0$。

对 $t$ 求导（链式法则）：
$$\frac{dl}{dt}=\frac{2x(t)+6x^5(t)}{2\sqrt{x^2(t)+x^6(t)}}\cdot \frac{dx}{dt}.$$

在点 $(1,1)$ 处 $x(t)=1$，代入 $\frac{dx}{dt}=v_0$：
$$\frac{dl}{dt}=\frac{2+6}{2\sqrt{1+1}}{v}_0=\frac{8}{2\sqrt{2}}{v}_0=2\sqrt{2}{v}_0.$$
故 $l$ 对时间的变化率为 $2\sqrt{2}{v}_0$。