2016 年考研数学（二） 第 14 题

「矩阵等价」这个词是本题钥匙——它比相似/合同弱，充要条件仅是同型且秩相等。于是把问题转成秩的匹配：先算出 $B$ 的秩是 $2$，再逼 $A$ 的秩也为 $2$。秩为 $2$（小于 $3$）给出 $|A|=0$ 求候选 $a$，但 $|A|=0$ 只保证秩 $<3$、不保证正好是 $2$，所以必须回代检验。$a=-1$ 时矩阵三行全同、秩塌为 $1$，不满足，唯一答案是 $a=2$。这个「先降秩定候选、再验秩剔除」的两步是含参秩问题的常见坑点。

本题考查矩阵等价的判定（等价 $\iff$ 同型且秩相等）。 先求出右边矩阵的秩，再令左边矩阵秩相等，由此定 $a$。

记 $A=\left(\begin{array}{ccc}a& -1& -1\\ -1& a& -1\\ -1& -1& a\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$。对 $B$ 作行变换：
$$B\stackrel{r_3-r_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\stackrel{r_3-r_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$
得 $r(B)=2$。

由 $A$ 与 $B$ 等价知 $r(A)=r(B)=2<3$，故 $|A|=0$。计算（各行之和相等 $=a-2$）：
$$|A|=(a-2)\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 1& a& -1\\ 1& -1& a\end{array}\right|=(a-2)(a+1{)}^2=0,$$
得 $a=2$ 或 $a=-1$。

还需 $r(A)=2$。当 $a=-1$ 时 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ -1& -1& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right)$，三行相同，$r(A)=1\ne 2$，舍去。故 $a=2$。