2016 年考研数学（二） 第 15 题

$1^{\infty }$ 极限的固定套路是「取对数 + 等价 $\ln (1+t)\sim t$」，把问题归结为 $\lim \frac{\text{底}-1}{x^4}$。分母是 $x^4$，提示必须把分子展开到四阶。本题的精彩之处：$\cos 2x$ 的 $-2x^2$ 与 $2x\sin x$ 的 $+2x^2$ 精确抵消，二阶项归零，四阶项才是主角——若只展开到二阶会误得 $0$。把两项都保留到 $x^4$：$\cos 2x$ 贡献 $\frac{2}{3}{x}^4$、$2x\sin x$ 贡献 $-\frac{1}{3}{x}^4$，合成 $\frac{1}{3}{x}^4$，指数极限为 $\frac{1}{3}$，答案 $e^{1/3}$。用洛必达连求三次也行，但泰勒展开更快更稳。

本题考查 $1^{\infty }$ 型幂指函数极限，用取对数（或 $e$ 指数化）配合泰勒展开求解。 记底数 $u=\cos 2x+2x\sin x$，当 $x\to 0$ 时 $u\to 1$，指数 $\to \infty$，属 $1^{\infty }$。

取对数化为求指数极限：
$$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos 2x+2x\sin x{)}^{\frac{1}{x^4}}=e^L,L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (\cos 2x+2x\sin x)}{x^4}.$$
因 $\cos 2x+2x\sin x-1\to 0$，用 $\ln (1+t)\sim t$ 得 $L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos 2x+2x\sin x-1}{x^4}$。

对分子作泰勒展开（到 $x^4$ 阶）：
$$\cos 2x=1-\frac{(2x{)}^2}{2!}+\frac{(2x{)}^4}{4!}+o(x^4)=1-2x^2+\frac{2}{3}{x}^4+o(x^4),$$
$$2x\sin x=2x(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3))=2x^2-\frac{1}{3}{x}^4+o(x^4).$$
相加：$\cos 2x+2x\sin x-1=(-2x^2+2x^2)+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3})x^4+o(x^4)=\frac{1}{3}{x}^4+o(x^4)$。

于是 $L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{3}{x}^4+o(x^4)}{x^4}=\frac{1}{3}$，故
$$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos 2x+2x\sin x{)}^{\frac{1}{x^4}}=e^{\frac{1}{3}}.$$