2016 年考研数学（二） 第 16 题

带绝对值的含参积分，核心是分清「谁是参数、谁是积分变量」，再看参数 $x$ 是否落进积分区间 $[0,1]$。$0<x<1$ 时 $t=x$ 在内部，绝对值符号在 $t=x$ 两侧不同，必须拆成两段积分；$x\ge 1$ 时 $x^2$ 恒大于所有 $t^2$，绝对值不变号，一段搞定。得到分段 $f(x)$ 后求导、找驻点即为常规最值。留意最小值点 $x=\frac{1}{2}$ 正好落在 $(0,1)$ 分支内，且 $x\ge 1$ 分支上 $f^{\prime }=2x>0$ 单调增不可能取到更小值，因此全局最小就在 $x=\frac{1}{2}$。

本题考查含参变量（作积分上限外的参数）的定积分与函数最值。 被积函数带绝对值，需按 $x$ 的位置分段去掉绝对值，先算出 $f(x)$ 再求导、求最值。

当 $0<x<1$ 时，在 $t\in [0,1]$ 上以 $t=x$ 为界：$t<x$ 时 $|t^2-x^2|=x^2-t^2$，$t>x$ 时 $|t^2-x^2|=t^2-x^2$。
$$f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)dt+{\int }_x^1(t^2-x^2)dt=(x^3-\frac{x^3}{3})+(\frac{1}{3}-x^2-\frac{x^3}{3}+x^3)=\frac{4}{3}{x}^3-x^2+\frac{1}{3}.$$

当 $x\ge 1$ 时，$t\in [0,1]$ 上恒有 $t^2\le 1\le x^2$，故 $|t^2-x^2|=x^2-t^2$：
$$f(x)={\int }_0^1(x^2-t^2)dt=x^2-\frac{1}{3}.$$
于是 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{3}{x}^3-x^2+\frac{1}{3},& 0<x<1,\\ x^2-\frac{1}{3},& x\ge 1.\end{array}$

求导：$0<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)=4x^2-2x$；$x>1$ 时 $f^{\prime }(x)=2x$。在 $x=1$ 处，左导 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2$，右导 $=2$，故 $f^{\prime }(1)=2$，与两段公式在 $x=1$ 的值一致。因此
$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}4x^2-2x,& 0<x<1,\\ 2x,& x\ge 1.\end{array}$$

求最小值：令 $f^{\prime }(x)=0$。在 $(0,1)$ 上 $4x^2-2x=2x(2x-1)=0$ 得 $x=\frac{1}{2}$；在 $x\ge 1$ 上 $f^{\prime }(x)=2x>0$ 无驻点。当 $0<x<\frac{1}{2}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$\frac{1}{2}<x$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，故 $x=\frac{1}{2}$ 为最小值点，最小值
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{1}{4}.$$