2016 年考研数学（二） 第 17 题

隐函数求极值是「隐函数求导 + 极值判别法」的组合。第一步对确定式求偏导并置零找驻点——本题的巧处是令 $z_x=0$ 后方程只剩 $2xz+2=0$，直接给出 $x=-1/z$（对 $y$ 同理），再回代求出 $z=1$、驻点 $(-1,-1)$。第二步求二阶偏导时不必解出 $z$ 的显式表达，只需在偏导方程上继续求导、把驻点处 $z_x=z_y=0$ 代入，方程立刻退化成关于 $A$（或 $C$）的一元线性式。最后 $AC-B^2>0$ 且 $A<0$ 判为极大。整个过程都在「隐式」层面完成，避免了解方程求 $z(x,y)$ 的麻烦。

本题考查由方程确定的隐函数 $z=z(x,y)$ 的极值。 先由 $z_x=z_y=0$ 找驻点，再用二阶偏导数的 $AC-B^2$ 判别法定极值。

对确定式两端分别关于 $x,y$ 求偏导：
$$\{\begin{array}{l}2xz+(x^2+y^2)\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}+2=0,\\ 2yz+(x^2+y^2)\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial y}+2=0.\end{array}$$
令 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}=0$，得 $2xz+2=0$、$2yz+2=0$，即 $x=-\frac{1}{z},y=-\frac{1}{z}$。

代回确定式：$x^2+y^2=\frac{2}{z^2}$，$2(x+y+1)=-\frac{4}{z}+2$，故
$$\frac{2}{z^2}\cdot z+\ln z-\frac{4}{z}+2=\ln z-\frac{2}{z}+2=0,$$
解得 $z=1$（因 $\ln 1-2+2=0$），从而 $x=-1,y=-1$。驻点为 $(-1,-1)$，对应 $z=1$。

对上面两式再分别求偏导，在 $(x,y,z)=(-1,-1,1)$、$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}=0$ 处代入（此时 $x^2+y^2=2$，$\frac{1}{z}=1$），例如由 $2z+4x\frac{\partial z}{\partial x}+(x^2+y^2)\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}-\frac{1}{z^2}(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+\frac{1}{z}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=0$ 得 $2+3A=0$：
$$A=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}{|}_{(-1,-1)}=-\frac{2}{3},B=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{(-1,-1)}=0,C=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}{|}_{(-1,-1)}=-\frac{2}{3}.$$

判别：$AC-B^2={\left(-\frac{2}{3}\right)}^2-0=\frac{4}{9}>0$ 且 $A=-\frac{2}{3}<0$，故 $(-1,-1)$ 为极大值点，极大值 $z(-1,-1)=1$。