2016 年考研数学（二） 第 18 题

含 $x^2+y^2$ 分母、区域又有对称性的二重积分，两把利器是「奇偶对称性」和「极坐标」。先用对称性：区域对 $y$ 轴对称，分子里的 $-xy$ 项对 $x$ 是奇函数，积分直接归零，省掉最麻烦的交叉项。剩下 $\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ 在极坐标下等于 $\cos 2\theta$（即 ${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$），与 $r$ 无关，$r$ 积分只贡献 $\frac{1}{2}{\csc }^2\theta$。上边界 $y=1$ 给出 $r$ 的上限 $\csc \theta$，$\theta$ 范围由两条斜边 $y=\pm x$ 定为 $[\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$。最后 ${\csc }^2\theta$ 的原函数是 $-\cot \theta$，代限即得。

本题考查二重积分的对称性化简与极坐标计算。 区域 $D$ 是顶点为 $(0,0),(1,1),(-1,1)$ 的三角形，关于 $y$ 轴对称。

利用对称性去掉交叉项。 $D$ 关于 $y$ 轴对称，而 $\frac{-xy}{x^2+y^2}$ 关于 $x$ 是奇函数，故 ${\iint }_D\frac{-xy}{x^2+y^2}dxdy=0$。于是
$${\iint }_D\frac{x^2-xy-y^2}{x^2+y^2}dxdy={\iint }_D\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}dxdy.$$

用极坐标。 令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$。区域 $D$ 对应 $\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{3\pi }{4}$，$0\le r\le \csc \theta$（上边界 $y=1$ 即 $r\sin \theta =1$）。注意 $\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$：
$${\iint }_D\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}dxdy={\int }_{\pi /4}^{3\pi /4}({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )d\theta {\int }_0^{\csc \theta }rdr=\frac{1}{2}{\int }_{\pi /4}^{3\pi /4}\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\theta }d\theta .$$

化简被积式 $\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\theta }={\cot }^2\theta -1={\csc }^2\theta -2$，故
$$\frac{1}{2}{\int }_{\pi /4}^{3\pi /4}({\csc }^2\theta -2)d\theta =\frac{1}{2}[-\cot \theta -2\theta {]}_{\pi /4}^{3\pi /4}=\frac{1}{2}[(1+1)-\pi ]=1-\frac{\pi }{2}.$$
故所求二重积分为 $1-\frac{\pi }{2}$。